Hija de Eduardo Chaparro y María Teresa Dulanto Guinea, Connie empezó su carrera apareciendo en spots publicitarios y posteriormente participó en obras de teatro de Gloria María Solari. Alcanzó popularidad al interpretar a Jimena en la serie Así es la vida.
Chaparro contrajo matrimonio en 2010 con el también actor Sergio Galliani. Su hijo Nicola nació en mayo de 2011.
Chaparro prestó su voz para la película animada Los Ilusionautas, estrenada en enero de 2012. Regresó al teatro con la ob
